Solitoni

Dubletsko rješenje

Do sada smo promatrali samo jednosolitonske valove, tj rješenja koja predstavljaju izolirani soliton koji se kreće u prostoru. Da bismo proučili interakciju dva solitona, ne možemo prosto superponirati dva solitona (linearna superpozicija ne vrijedi!), već je potrebno naći dubletsko rješenje KdV jednadžbe. Dubletsko rješenje je funkcija koja je rješenje jednadžbe, a u jedinstvenom analitičkom izrazu obuhvata dva prostorno odvojena solitona. Drugim riječima, dubletsko rješenje je jedna formula koja opisuje kretanje dva vala. Fizikalno zadovoljavajuće dubletsko rješenje se dobiva pomoću tzv. Bäcklundove transformacije (opširnije vidjeti u referenci 1), kombinacijom rješenja (2) i jednog drugog rješenja jedn. (1)^[5]:

                    (3)

Da je i ovo zaista rješenje polazne jednadžbe, može se provjeriti uvrštavanjem. Međutim, ovo rješenje je neregularno: ono nije fizikalno prihvatljivo zbog divergencije u području gdje faza  iščezava.

Iregularno rješenje (3) prikazano je grafički u ovisnosti o fazi na sljedećoj slici:

Ovo rješenje, dakle, samo po sebi nije od interesa, ali se (nelinearnom) superpozicijom ovog i prethodnog rješenja dobija opet regularno rješenje. Ovaj dublet, koji predstavlja raspršenje dva solitona koji se kreću u istom smjeru različitim brzinama ilustriran je sljedećom animacijom (, ):

Ovo raspršenje prikazano je i na 3-dimenzionalnom prostorno-vremenskom dijagramu:

I brži i sporiji val asimptotski zadržavaju oblik za . Međutim, ono što je interesantno za uočiti ovdje jeste pomak u fazi koji se dešava oko trenutka : sporiji val doživljava fazni pomak unazad, a brži – fazni pomak unaprijed. U stvari ovo se zbiva kao da oko trenutka  dva solitona zamijene uloge. Ovaj efekat je tim izraženiji što je manja razlika između brzina dva solitona.

Fazni pomak u gore prikazanom raspršenju najbolje se uočava na konturnom dijagramu, gdje je veći (i brži) val prikazan bijelom bojom, a manji (i sporiji) sivom: